CICC科普栏目|如何通俗地解释欧拉公式(e^πi+1=0)? |
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的万能公式:其根可以表示为: 其判别式 我们再看一下,一元三次方程 ,一元三次方程的解太复杂了,这里写不下,大家可以参考 维基百科 ,但愿大家能够打开。 我们讨论一下,此时,一元三次方程可以化为,其根可以表示为: 其中: 判别式为 ,注意观察解的形式, 是被包含在根式里面的。 要想求解三次方程的根,就绕不开复数了吗?后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根,但是在当时并不知道,所以开始思考复数到底是什么? 我们认为虚数可有可无,虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物,只在形式上被定义,但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在,并且成为重要的分支。 1.2 复平面上的单位圆 在复平面上画一个单位圆,单位圆上的点可以用三角函数来表示: 我们来看单位圆: 1.3 复平面上乘法的几何意义 同样来感受一下 2 欧拉公式 在进入欧拉公式之前, 对于,有 ----维基百科 欧拉公式在形式上很简单,是怎么发现的呢? 2.1 欧拉公式与泰勒公式 关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章: 如何通俗地解释泰勒公式? 。 欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的: 将 代入e可得 那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢? 2.2 对同一个点不同的描述方式 我们可以把 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点, 通过复平面的坐标来描述单位圆上的点,是同一个点不同的描述方式,所以有 2.3 为什么 是圆周运动? 定义e为 这是实数域上的定义,可以推广到复数域 。根据之前对复数乘法的描述,乘上 是进行伸缩和旋转运动,n取值不同,伸缩和旋转的幅度不同。 我们来看看 如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的: 从图上可以推出 时,在单位圆上转动了1弧度。 再来看看 ,这个应该是在单位圆上转动弧度: 看来 确实是单位圆周上的圆周运动。 来看看 是如何运动的吧: 2.4 2^ i 的几何含义是什么? 看不出来有什么几何含义,不过我们稍微做个变换 ,几何含义还是挺明显的,沿圆周运动 弧度。 2.5 欧拉公式与三角函数 根据欧拉公式 ,可以轻易推出: 和 。三角函数定义域被扩大到了复数域。 我们把复数当作向量来看待,复数的实部是x方向,虚部是y方向,很容易观察出其几何意义。 2.6 欧拉恒等式 当 的时候,代入欧拉公式: 就是欧拉恒等式,被誉为上帝公式, 乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好。 ———— 编辑 ∑Gemini 来源:matongxue314 C2返回搜狐,查看更多 |
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